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2018年12月26日

はじめての解析学 微分、積分から量子力学まで

はじめての解析学 微分、積分から量子力学まで (ブルーバックス)

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原岡 喜重 講談社 2018-11-14

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満足度★★★★
付箋数:25

古来より、私たち人類は「自然」の中で
生きてきました。

しかし、その自然がどのように動くかわからず、
身を危険に晒してきました。

　　「自然の本質は変化です。
　　人類は自然がどのように振る舞うのか、
　　つまり自然がどううごくのかを知りたいと
　　願ってきました。自然の動きがわかれば
　　その脅威から身を守ることができるかも
　　しれないし、その恩恵をより多く手に
　　入れることができるかもしれません。」

自然は「変化」するから、捉えるのが難しい。

それでは、人類はどのようにして、
「変化」に対処しようとしてきたのか？

その変化を記述する方法の1つが「関数」です。

この関数を扱うのが、数学の中では、
「解析学」という分野。

数学の分野は、ざっくり分けると、代数学、
幾何学、解析学の3つに大別されます。

代数は数や式を扱う学問、幾何学は図形を
扱う学問で、解析学が関数を扱う学問です。

つまり、人類は解析学によって、
自然の変化を捉えようとしてきました。

本書は、歴史の流れに沿って解析学の発展を
見ていく本です。

解析学の全体像が俯瞰できるように
書かれています。

著者は、熊本大学大学院先端科学研究部
教授の原岡喜重さん。

複素領域における微分方程式・特殊関数・
微分代数学を専門とする方です。

解析学の概念が、最初に考えられたのは、
古代ギリシャの時代です。

それが17世紀になってニュートンさんと
ライプニッツさんによって微分法が発見され、
一気に研究が進みます。

更に、フーリエさんの熱伝導の研究もあり、
フーリエ解析で周期関数を記述することが
可能になり、波動の研究に応用されました。

19世紀になると、「奇跡の世紀」と呼ばれる
ほどの大発見が続きます。

解析学に関わるものだけでも、楕円積分、
アーベル積分、アーベル函数に至る研究、
複素函数論、リーマン面の理論などがあります。

ルベーグさんは、積分の概念の一般化する
ルベーグ積分を発表しました。

そして、コーシーさんは、複素解析の研究で、
コーシーの平均値の定理、コーシーの積分定理、
コーシー・リーマンの関係式などを展開します。

20世紀になると、数学は更に深化と抽象化が
進み、また計算機の発達で、計算実験も
どんどん行えるようになりました。

そこで登場するのが、20世紀の科学における
最大の発見と呼ばれる量子力学です。

量子力学は、それまでの古典物理学で
とらえた世界像を一変するような衝撃を与え、
多くの現象を緻密に記述することを
可能にしました。

この分野では、シュレーディンガーさんが
シュレーディンガー方程式を発表します。

シュレーディンガー方程式は、
波動関数とみたすことで間接的に
確率密度関数をみたす微分方程式です。

本書では、20世紀の解析学までを、
その時代その時代に新しい局面を切り開いた
人物を紹介しながら解説しています。

解析学自体はかなり大きな研究分野ですが、
その発展が、つながりとして見えてきます。

非常に興味深い本で、解析学の概要を
知るためには適しています。

しかし、それなりに数式での説明も
出てきますので、文系の方には、
難しく感じる可能性があります。

少なくとも高校レベルの数学の
知識がないと、解析学の醍醐味は
伝わってこないかもしれません。

この本から何を活かすか？

本書の巻末では、解析学を学び始める方向けに、
大学生向けの微分積分の教科書が紹介されて
いました。

　　1.微分積分学 第1巻、第2巻
　　2.解析概論 改訂第3版
　　3.微分方程式 増補版
　　4.関数論
　　5.複素函数論 (東京大学基礎工学)

古い本も多くて、入手が難しいものもあります。
この中で、「3」が原岡さん自身の著書です。

Miss a meal if you have to, but don't miss a book.

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2018年02月19日

統計学図鑑

統計学図鑑

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栗原 伸一,丸山 敦史 オーム社 2017-09-15

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満足度★★★
付箋数:25

　　「今の世の中、私たちの身の回りで “統計学” 
　　が重要になってきています。名前は聞くけれど、
　　一体何をどうすればわからない。
　　授業で習った気もするけれど、実際にどんな
　　手法を選べばいいのかわからない。
　　そう思っていないでしょうか？
　　この『統計学図鑑』は、そんな私たちが
　　イラストと丁寧な解説で “統計学” の基礎から
　　応用まで、しっかり学ぶことができます。
　　きっと難しい事はありません、統計学の世界へ
　　出かけてみましょう。」

本書は、「図鑑」というだけあって、
かなり広範囲の統計学の内容がカバーされた
本です。

イラストが多用されているので、内容について
イメージがしやすい本だと思います。

著者は、『入門 統計学 ?検定から多変量解析
・実験計画法まで?』が好評だった、
千葉大学大学院嚥下医学研究科教授の
栗原 伸一さん。

同じ研究科の同僚で准教授の丸山敦史さん
との共著です。

では、本書から「実験計画法」の説明を
見てみましょう。

　　「実験計画法とは、成功する実験を計画する
　　ためのルール集です。
　　そのルールは、R・フィッシャーによって
　　3つの原則（反復、無作為化、局所管理）
　　に整理されます。
　　また、実験計画法には、部分的な実験で
　　すませたり、分析に最低限必要なデータ数
　　を決める方法など、効率的な実験を計画する
　　方法も含まれています。」

実験には、失敗と成功があります。

実験の失敗とは、実験後の分散分析において、
効果がないのにあると誤ったり、
効果があるのにないと見落としたりすること。

実験の成功とは、それとは逆に、要因効果が
あるときに、それをきちんと検出できる
ことをいいます。

フィッシャーさんの3原則に従えば、
実験の失敗を防ぐことができるのです。

反復の原則とは、分散分析に必要な
誤差分散を評価するため、同じ水準
（群、処理）内での実験を繰り返すこと。

無作為化の原則とは、本来は誤差とする
要因が、系統だって（方向性を持って）
実験計画に入り込まないよう、実験空間の
配置や時間の順番を無作為に並び替える
ことです。

局所管理の原則とは、空間的・時間的な
実験の場を小分け（ブロック化）にして、
その中で実験を一通り実施し、分析する
ことです。

このように文字の羅列だけで説明すると、
いたって平凡に感じてしまいますが、
それを豊富なイラストや図表で補足して
いるのが本書の最大の特徴です。

レベル的には「授業で習った気もするけれど」
といった人に丁度いい感じです。

つまり、統計を授業で習っているので、
理系出身の方ということができます。

数学で使うΣなどの記号や式は、
当たり前のように登場します。

いくら平易に説明しているといっても、
これまでの人生で数学を避けてきた方
には、正直、キツイと思います。

多少、統計をかじっている方が、
自分の知らない分析や検定方法を
ざっくり掴むのにも適していると思います。

個人的には、丁度よいレベルの本でした。

この本から何を活かすか？

　　「統計学を学んだ人たちに “もっとも偉大な
　　統計学者をひとりあげよ” と聞いたら、
　　誰もがフィッシャーを選ぶのではないで
　　しょうか？ フィッシャーは分散分析だけで
　　なく、仮説検定やp値、自由度という、
　　現代の推測統計学にはなくてはならない
　　手法や概念、そして母数推定法の1つである
　　最尤法（さいゆうほう）を考え出しました。」

これは、本書のコラムとして掲載されている
ロナルド・フィッシャーさんの「偉人伝」
からの抜粋です。

全部で8組9人の偉人伝が掲載されていて、
これで統計学の歴史の大枠もわかるので、
なかなかいいコラムになっています。

Miss a meal if you have to, but don't miss a book.

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2018年02月09日

統計学が最強の学問である[数学編]

統計学が最強の学問である[数学編]――データ分析と機械学習のための新しい教科書

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西内 啓 ダイヤモンド社 2017-12-21

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満足度★★★
付箋数:21

　　「本書は “統計学と機械学習の専門的な勉強を
　　はじめる前の数学的な基礎” を身につけることを
　　ゴールとしています。そのために、中学生が学ぶ
　　代数学の基礎からはじまり、理系の大学1、2年生
　　が学ぶような線形代数や偏微分といったところ
　　まで、統計学や機械学習でよく使う数学的な
　　核の部分を学んできました。」

本書は累計48万部を超えるベストセラーに
なった『統計学が最強の学問である』
シリーズの第4弾、「数学編」です。

数学を扱った「読み物」ではなく、
完全に「数学の教科書」です。

実際に手を動かして真剣に数学を勉強する
つもりがないなら、本書は無駄になります。

購入するかどうかは、一度書店で手にとって、
自分の目で見てから判断することを
オススメします。

統計学の教科書でもなく、統計学を深く学ぶ
前に身につけておくべき数学を「体系的」に
学ぶ本です。

この「体系的」というところがポイント。

著者の西内啓さんは、以前から統計学は、
現代人にとって「読み書きそろばん」の
「そろばん」にあたる重要なスキルであると
主張してきました。

しかし、これまで学校で教えられてきた
数学のカリキュラムは、最終的に
「理工系の専門家になるためのピラミッド」
を積み上げていくものでした。

その上、このピラミッドのほとんどは
完成せず、どこかの部分でつまずいたまま
放置されて、数学が苦手な大人が大量に
輩出されてきました。

つまり、本格的に「そろばん」を学ぶ前に
必要な数学知識が、現行のカリキュラムでは
身につくように組まれていないのです。

　　「私が本書で提示する答えは、高校までの
　　数学の内容を編み直し、大幅に削減した上で
　　 “統計学と機械学習を頂点とした数学教育の
　　ピラミッド” を作ろうというものです。」

ちなみに、ここで統計学とセットで出てくる
「機械学習」とは、人工知能を実現するための
方法の1つで、人間が自然に行っている
学習能力と同様の機能をコンピュータで
実現しようとする技術です。

言い換えると、データから反復的に学習し、
そこに潜む特徴を見つけ出すことで、
人工知能とは切り離せない手法です。

これから進めていく人工知能の研究には、
統計学と機械学習はセットで必要になるため、
新たにそれを最終ゴールとしたカリキュラムの
見直しが求められたのです。

本書では、これまでの「エンジニアリング」
のための中等数学ピラミッドから、
「統計学と機械学習」のための中等数学
ピラミッドへ変えるため、大胆に内容を
カットまたは加えることをしています。

かなり読む人を選ぶ本ですし、
さらっと読んで終わりという種類の本では
ありません。

「数とは何か」というところから「微積分」
まで学ぶので、一定の覚悟をもって
取り組む必要があります。

よくビジネス書では、なるべく数式を
使わないように書かれた本がありますが、
本書はその真逆の数式だらけの本です。

これまで統計学だけを学ぼうとしていて、
本質的な部分がわからないと感じていた人には
いい本だと思います。

　第1章 統計学と機械学習につながる数学の基本
　第2章 統計学と機械学習につながる2次関数
　第3章 統計学と機械学習につながる
　　　　二項定理、対数、三角関数
　第4章 統計学と機械学習のための
　　　　Σ、ベクトル、行列
　第5章 統計学と機械学習のための微分・積分
　第6章 ディープラーニングを支える数学の力

この本から何を活かすか？

本書で数学の基礎を学んだ後に、
読むことを勧められているのが、同シリーズの
『統計学が最強の学問である[実践編]』です。

この本では、ビジネスで統計学を使うために
必要な手法が解説されています。

統計的仮説検定、重回帰分析、ロジスティクス
回帰分析、因子分析とクラスター分析に絞って
その意義や使い方と、結果の解釈の仕方が
解説されています。

こちらを先に読んだ方にも、「数学編」で
学んだ後に、もう一度「実践編」を
読み返すことが推奨されていますね。

Miss a meal if you have to, but don't miss a book.

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2018年01月17日

現代暗号入門 いかにして秘密は守られるのか

現代暗号入門 いかにして秘密は守られるのか (ブルーバックス)

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神永 正博 講談社 2017-10-18

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満足度★★★★
付箋数:24

　　「もともと暗号は、軍事的な通信を秘匿する
　　ために作られた。長い間、我々の生活とは
　　無縁なものだったが、今や暗号なしに生活する
　　のは難しい。インターネットショッピング、
　　携帯電話、Wi-Fi、ICカードはもちろん、
　　ビットコインを始めとする暗号通貨も、
　　電子署名とハッシュ関数という暗号技術で
　　できている。
　　これほど暗号に依存しているのにもかかわらず、
　　技術の根本を理解し、最新技術に通じている
　　者は驚くほど少ない。」

本書は、タイトルの通り暗号技術の入門書。

ここまで私たちの社会に浸透した暗号技術が、
実際にどのように組み込まれているのか、
そして最新の暗号技術について解説します。

暗号が現在の技術まで発展するには、
開発者（ディフェンダー）と攻撃者（アタッカー）
の熾烈な争いがありました。

その様子は、数学の知識を中心に使った、
まさに知のバトルロイヤルです。

本書では、こうした開発と攻撃の歴史を
追いながら、現代の暗号技術を紐解きます。

著者はブルーバックスで何冊か数学関係の
本を執筆している神永正博さんです。

まずは、暗号のシステムを構成する3要素を
押さえておく必要があります。

1つ目は、「共通鍵暗号」。

これは閉める鍵と開ける鍵が同じ（共通の）
暗号です。

家の鍵のように1つの鍵があれば、開けることも
閉めることもできるのと同じです。

1ビットごとに暗号化するストリーム暗号と、
いくつかの暗号をまとめて暗号化する
ブロック暗号の2つに大別されます。

2つ目は、「公開鍵暗号」。

これは非対称鍵暗号とも呼ばれ、
閉める鍵と開ける鍵が異なる暗号です。

閉める鍵は一般に公開されていて公開鍵と
呼ばれ、開ける鍵は秘密鍵と呼ばれています。

私たちが通常使っている鍵のイメージとは
かなり違った、暗号特有の概念です。

本書では、代表的な公開鍵暗号である
RSA暗号と楕円曲線暗号について解説します。

そして3つ目が、「ハッシュ関数」。

ハッシュとは、ハッシュドポテトなどと同じで、
もともと「切り刻んで混ぜる」という意味です。

ハッシュ関数とは、データを混ぜ合わせて、
一定の長さのデータ（ハッシュ値）を作り出す
関数です。

この関数は元のデータが改竄されていないかを
検証する目的や、ウェブサービス上での
パスワード認証などで利用されています。

これらが暗号技術の根底を支える三種の神器で、
この3つを組み合わせることで、現代の多用な
暗号システムが生み出されています。

また、暗号は数学的な理論だけでなく、
それを動かすハードウェアも重要な構成要素
となります。

本書の最終章では、ICチップの消費電力から
暗号読解の手掛かりを得る方法や、
そのような攻撃をどのように防ぐかについて
解説しています。

このパートは、それほど多くのページが
割かれていないものの、なかなか面白く、
本書の特徴の1つにもなっています。

　　第1章 共通鍵暗号
　　第2章 ハッシュ関数
　　第3章 公開鍵暗号 ― RSA暗号
　　第4章 公開鍵暗号 ― 楕円曲線暗号
　　第5章 サイドチャネルアタック

本書は、暗号の基本原理や最新の技術につて、
ちゃんと理解するには最も適した本だと思います。

ただし、一定の数式も出てきますので、
理解するには高2レベルの数学知識は必要です。

それぐらいの数学の知識がないと、
本書の面白さは十分に楽しめないので、
数式が苦手な方には、ちょっとハードルが
高いかもしれません。

この本から何を活かすか？

楕円曲線暗号は、楕円曲線上の離散対数問題に
基づく、数学的に複雑な技術です。

一般的に暗号の安全性が高くなれば、
それにともなって、鍵の複雑さも増すものです。

RSA暗号が、鍵長が伸びるに従って処理に
多くのリソースを使うようになっていたのに対し、
楕円曲線暗号は大した変化はありませんでした。

今流行のビットコインにもこの楕円曲線暗号の
技術が使われています。

本書では、本文に加え巻末注と脚注でも
その技術的詳細を補足して解説しています。

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2017年10月10日

フロックの確率

フロックの確率

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ジョセフ・メイザー 日経BP社 2017-06-13

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満足度★★★
付箋数:23

あなたは、米ネバダ州ラスベガスに住む、
ジョーン・ギンザーさんという女性の名前を
聞いたことがあるでしょうか？

彼女は1993年7月14日、テキサス州のビショップ
のあるスーパーで、スクラッチの宝くじを
何枚か買って540万ドルが当たりました。

これは地元のニュースになりました。

数年後、ギンザーさんはテキサス州のコンビニで
ホリディ・ミリオネアというスクラッチの
宝くじを何枚か買い、200万ドルが当たりました。

このときはテキサス州のニュースになりました。

2年が経ち、ビショップの国道77号線沿いの
マーケットでミリオンズ・アンド・ミリオンズ
の宝くじを何枚か買ったら、また300万ドルが
当たりました。

これは全国のニュースになりました。

さらに2年後、前と同じビショップのマーケット
に行ったときに、エクストリーム・ペイアウト
という宝くじを50ドル分買うと、また1000万ドル
が当たりました。

今度は世界中のニュースになりました。

1度でも当たると非常に幸運な宝くじを、
同じ人が4回も当たることがあるのでしょうか？

こんな事が特定の個人に起こる確率は、
18兆兆分の1で、1000兆年に1度くらいという
起きにくさとなります。

彼女はスタンフォードで博士号も取った
元数学教授で、宝くじのシステムを出し抜いて、
何か不正をするか、当たりくじが置かれている
場所を決めるアルゴリズムを解明したという
噂話さえ流れました。

　　「このように（宝くじに）複数回当たることは
　　めったにないが、めったにないことも偶然で
　　必ず起きることを知っている統計学者には
　　意外ではない。宝くじに4回当たるのは、
　　1人の身の上に起きることとして考えれば
　　ほとんどないが、集団全体で考えればまずまず
　　よくあることになる。実際にその率は結構
　　高く、ギンザーのような当たり方は、
　　3億2000万人いるアメリカ人の集団の中では
　　相当起きる可能性がある。」

ポイントは、ジョーン・ギンザーさんという
既に当たった人物に起きた出来事として
見ているので、到底起こることのないような
確率と思えることです。

世界中のどこかの誰かが4回の宝くじを当てる
確率を計算すると、実は極めて「1」に近いのです。

ほぼ「1」とは、ほとんど起こる確率という
ことを意味します。

本書は、偶然の巡り合わせを数学的に
解明する読み物です。

2016年に刊行された、「Fluke: The Math
and Myth of Coincidence」の邦訳本。

著者は、米マールボロ大学数学科名誉教授の
ジョセフ・メイザーさん。

メイザーさんの著書は邦訳されている本も多く、
これまでにも『ギャンブラーの数学』、
『数学と論理をめぐる不思議な冒険』、
『ゼノンのパラドックス』などが日本でも
出版されています。

本書で扱うテーマは「Coincidence」。

これは、偶然の一致と訳される言葉です。

しかし、「それは本当に偶然なのか？」そして、
「めったに起こらない珍しいことなのか？」
という視点で考えるのが本書のテーマです。

この手の問題でよく知られているのが、
「誕生日問題」です。

これは23人の集団があれば、そこには
同じ誕生日の人が2人いる確率の方が、
いない確率より高くなるというものです。

直感では、「珍しい」あるいは「奇遇」と
思えても、実際に起こる確率の計算すると
意外と高い確率となるのです。

本書では、人の感覚とはそぐわない
偶然の一致や巡り合わせを数学的に考察します。

私たちが「何かの運命」と感じていた出来事が、
普通の出来事になってしまうかもしれません。

およそ数学の知識がなくても読める本ですが、
一部数式などが登場する部分もあります。

この本から何を活かすか？

本書で、なかなか興味深かったのは、
DNA鑑定についての考察です。

　　「血縁関係のない2人の人物が、完全に一致する
　　DNAを持っているということはあるろうか。
　　可能性は想像を絶するほど小さいが、
　　ありえないことはない。可能性は低いと
　　いっても、たかが10億分の1ほどだ。」

Miss a meal if you have to, but don't miss a book.