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2019年09月09日

数学にとって証明とはなにか ピタゴラスの定理からイプシロン・デルタ論法まで

数学にとって証明とはなにか ピタゴラスの定理からイプシロン・デルタ論法まで (ブルーバックス)

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瀬山 士郎 講談社 2019年08月22日

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満足度★★★
付箋数:24

突然ですが、問題です。

　5色の靴下が引き出しにたくさん
　入っています。暗闇の中で靴下を
　取り出して、左右の色がそろった
　ものをはくようにします。
　最低何枚の靴下を取り出せば、
　色のそろった靴下をはけますか？

これは、「鳩の巣論法」の応用問題です。

鳩の巣論法とは、ある意味、当たり前の
話なのに、数学に適用されるととても
大きな威力を持つ論法です。

今、鳩が10羽います。
鳩の巣は9個しかありません。

このとき、すべての鳩が必ず巣に
入った状態を想像してみてください。

そうすると、少なくとも1つの巣には
2羽以上の鳩が入っています。

逆に言うと、鳩の巣が9個しかなく、
鳩が10羽いるなら、2羽以上の鳩が
入っている巣が少なくとも1つは
あるということです。

これが、暗闇の靴下問題とどのように
関連するするのでしょうか？

靴下の色が巣箱で、靴下が鳩と
考えてみてください。

色が5色あるので、5枚の靴下を
取り出すと、すべての色が違っている
可能性があります。

しかし、6枚の靴下を取り出せば、
鳩の巣論法より、どこかの色
（どれかの箱）には、2枚の靴下が
あることになります。

結局、答えは暗闇でも「6枚の」
靴下を取り出せば、必ず色のそろった
靴下を履くことができます。

本書は、数学の「証明」とは何か、
またその技法にはどんな手法が
あるのかを解説した本です。

音楽や美術を鑑賞するように、
典型的な美しい証明を鑑賞して、
その本質に迫ります。

著者は、群馬大学教授を定年退職後、
数学愛好家として活動を続けている
瀬山士郎さんです。

本書では、次のような疑問に答えます。

　・数学における証明とは何か？
　・それが普通使われている「証明」
　　という言葉とどうつながるのか？
　・普通に使われている言葉と少し違って
　　いるとすれば、どこが違うのか？

数学に興味がある人にとっては、
非常に面白い本ですが、数学嫌いな人に
とっては、苦しい本かもしれません。

思い出してみると、私たちが
学校で「証明」を初めて習ったのは、
中学2年生のときでした。

その前の段階で、数学が好きか嫌いか、
およそ分かれていましたが、証明を習う
ことで、数学嫌いな人は決定的になった
印象があります。

また、計算が得意だった人でも、
証明に入ると、急に苦手意識を持った
人もいたような記憶があります。

そういう意味では、証明は嫌な思い出
なのかもしれません。

しかし、大人になって改めて証明と
向き合ってみると、その知的な営みに
気づき、感動があると思います。

私は学生時代に、背理法や数学的帰納法を
習ったときに、「凄いな！」と感動した
ことを思い出しました。

　　「じつは数学は、ある種のミステリに
　　近い性格を持っています。数学者は
　　時に、謎めいた事件の真相を、
　　論理を駆使して明るみに出す名探偵の
　　ような役割を果たします。」

本書は、ミステリファンの方にも
読んで欲しい本です。

この本から何を活かすか？

本書では、クレイトン・ロースンさんの
『帽子から飛び出した死』と、
江戸川乱歩さんの『凶器』に収録されて
いる図形の問題が紹介されていました。

明智小五郎が庄司巡査部長に出した
問題です。

　　「Oは円の中心だ。OAはこの円の
　　半径だね。OA上の点Bから垂線を
　　下ろして円周に交わった点がCだ。
　　また、Oから垂線を下ろしてOBCD
　　という直角四辺形を作る。
　　この図形の中で長さがわかっている
　　のはABが3インチ、BDの斜線が
　　7インチという2つだけだ。
　　そこで、この円の直径は何インチか
　　という問題だ。
　　30秒で答えてくれたまえ。」

これは、ミスディレクションとして
乱歩さんが好んだ問題のようです。

Miss a meal if you have to, but don't miss a book.

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2019年08月29日

日常にひそむ うつくしい数学

日常にひそむ うつくしい数学

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冨島佑允 朝日新聞出版 2019年07月

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満足度★★★
付箋数:21

あなたの、好きな「数字」は何ですか？

こう聞かれて、「2」を挙げた人は
いませんか？

「2」が好きな方は気をつけてください。

ある教団では、「2」は悪魔の数字と
考えられているからです。

その教団の考えでは、数字の「1」は
完全なもの、統一、神を表わします。

そして、「2」は完全なものから
離れた最初の数のため、悪魔を象徴する
と考えられていました。

ただし、「2」が好きならまだマシです。

もし、あなたが「√2」が好きだったら、
絶対にそれを口外してはいけません。

なぜなら、無理数の存在を口にすると、
その教団では、抹殺される可能性が
あるからです。

無理数の存在は、その教団の教えを
否定するものだったからです。

その教団とは、古代ギリシアの哲学者
ピタゴラスさんが創設したとされる
秘密結社、「ピタゴラス教団」です。

　　「紀元前6世紀頃のこと、ピタゴラスは
　　古代オリエント世界の各地を旅して、
　　数学の秘儀を学んでいました。
　　そして、この世界は数学の法則で
　　動いていることを悟ります。
　　彼は、この悟りを教義として伝える
　　ために、宗教団体 “ピタゴラス教団” 
　　を設立しました。
　　ピタゴラス教団の教えは、
　　 “万物は数学の法則で説明できる” 
　　というものです。それをもっとも
　　端的に表したのが、有名な
　　 “万物は数である” という言葉です。」

ピタゴラス教団のオカルティックな
面はさておき、教団の考えは現代の
科学に引き継がれています。

それは、「科学的」であることが、
現代においては、正しさの証明に
なっているからです。

さて、本書は私たちの身の回りに
あるもの潜む、隠された法則を、
数学を使って解き明かす本です。

自然界の中にも、人間が創造した
ものの中にも、私たちが気づかない
数の法則が隠されているのです。

著者は、国際的な金融マンであると
同時に、科学や哲学における最先端の
動向にも精通する、冨島佑允さん。

冨島さんは、日常に潜む謎を大きく
4つに分類して、解説します。

本書では、全部で24の謎を解き明かし
ていますが、その中から代表的な
謎を紹介します。

＜かたちの謎＞
　・ハチの巣は、なぜ六角形なの？
　・巻貝のぐるぐるは、どうやってできるの？

＜かずの謎＞
　・古代ギリシャ人は日時計とラクダで
　　地球の大きさを測っていた?
　・なぜ、ぴったり13年・17年ごとにしか
　　出てこないセミがいるの?

＜うごきの謎＞
　・北半球の台風の渦は本当に左巻きなの？
　・ロケットは、なぜ空気がなくても
　　飛べるの？

＜とてつもなく大きなかずの謎＞
　・将棋の試合展開は何通りあるの？
　・ 同じ親から生まれたのに、
　　なぜ顔や性格が違うの?

本書を読むのに、難しい数学の知識は
必要ありません。

小学校卒業程度の算数の知識さえあれば、
理解できるように、やさしく解説されて
います。

数字アレルギーの人でも、興味を持って
読むことができるでしょう。

逆に数学好きの人からしてみると、
既に知っているエピソードが多いかも
しれません。

この本から何を活かすか？

群れで飛んでいる鳥には、リーダーが
いないことが知られています。

互いの鳥はぶつかることはありません。

なぜ、リーダーがいなくても、
統率した行動が取れるのでしょうか？

そこにはシンプルな3つのルールが
あります。

　1. 近づきすぎたら離れる
　2. となりを飛んでいる鳥と、
　　飛ぶ速さと方向を合わせる
　3. 仲間が多くいる方向に近づく

鳥の群れはたったこれだけのルールで、
巨大アメーバのような複雑な動きを
生み出しているのです。

Miss a meal if you have to, but don't miss a book.

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2019年07月05日

正しい「未来予測」のための武器になる数学アタマのつくり方

正しい「未来予測」のための武器になる数学アタマのつくり方

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高橋洋一 マガジンハウス 2019年05月30日

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満足度★★★★
付箋数:24

　　「現在の日本は、政治家や官僚、
　　マスコミなどの “文系バカ” に
　　牛耳られている。しかし逆に言えば、
　　数学的思考や数学的発想を身につけて
　　いれば、世の中に蔓延するあいまいさや
　　ニセ情報、といったものを見抜く
　　ことができ、本当のことがわかって
　　くる、ということだ。」

本書は、東大数学科出身の元財務官僚、
高橋洋一さんによる「数学アタマ」を
つくるための本です。

高橋さんは、論理的で歯に衣着せない
物言いをするので、個人的には好きです。

ただ、さすがに日本は「文系バカ」に
牛耳られているというのは、
言い過ぎかなとも思いました。

それは私も妻も理系ですし、
友人も理系出身者が多いからです。

しかし、本書がベストセラーになって
いるところをみると、やはり世の中、
数学が苦手な人や文系出身者が多い
ということを改めて実感しました。

日本では、文系：理系の比率が
7：3とも言われていますから、
実際に理系は少数派です。

本書の内容は、理系出身からすると
「なに当たり前のことを言ってるの」
と感じることもあるはずです。

しかし、純粋な理系出身者は、
経済学や会計を学んでいない人もいるので、
本書は文系・理系問わず役に立ちます。

では本書から、世間の常識を覆すことを
いくつか紹介しましょう。

　　「厚生労働省の発表通り人口が8800万人
　　に減少した場合、それがGDPの成長率に
　　もたらす影響は最大で0.7％だ。
　　つまり、人口の増減はマクロ経済指標
　　にはほとんど影響はない。
　　人口の増減と1人あたりのGDPの増減は
　　ほとんど関係ないのである。」

GDP自体はもちろん人口に比例しますが、
1人あたりで割ったGDPは人口の増減に
影響しないのは、当然といえば当然です。

更に、高橋さんは出生率低下による
少子化も問題なしとしています。

　　「結論から言えば、出生率は自然の
　　摂理であって、1を割ることは珍しく、
　　1.5くらいでも問題はない。
　　政府は目標として出生率1.8を掲げて
　　いるが、本気で対策をとることはない
　　だろうし、その必要もない。
　　国民の幸せは人口の増加ではないからだ。」

もう1つ、日本の年金問題について。

年金は破綻するのか、あるいは、
自分は本当にもらえるのかと心配して
いる人も多いことでしょう。

しかし、高橋さんは、この年金破綻論も
無知による誤解であると言い切ります。

　　「年金破綻論は、すべてBSを途中で
　　区切って読むことから起こる誤解である。
　　（中略）日本の公的年金制度は、
　　成熟するにつれて保険料と給付が
　　一致していき、不足が解消されていく
　　仕組みである。したがって、不足額が
　　大きいからといって不安に思う必要は
　　ない。」

会計知識のない人に限って年金の破綻を
口にするようです。

年金制度が安定するかどうかは、
負担する人数・受け取る人数と
いった「人数」の問題ではなく、
「金額」の問題。

高橋さんは、年金の不足額がいくら
あるのかではなく、その不足が増えて
いかなければ、大きな問題はないと
言ってます。

本書では、マスコミで喧伝されている
「ウソ」を暴き、数字で考えることの
重要性を教えてくれます。

難しい数式などは出てこないので、
数字が全く苦手な超文系の人でも、
数学的思考法の身につけ方について
分かりやすく学べる本です。

この本から何を活かすか？

高橋さんは、「リスク」という
言葉を正しく使えていない人が
多いと指摘しています。

リスク＝危険という意味ではありません。

　　「リスクとは、確率計算がしっかりと
　　してある可能性のことを言う。
　　つまり、確率の数値を必ずともなう
　　言葉がリスクである。さらに言えば、
　　本来リスクに “危険か安全か” 
　　 “良いか悪いか” といった価値的な
　　意味はない。」

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2019年05月29日

「%」が分からない大学生 日本の数学教育の致命的欠陥

「%」が分からない大学生 日本の数学教育の致命的欠陥 (光文社新書)

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芳沢光雄 光文社 2019年04月17日

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満足度★★★
付箋数:23

あなたは、次の問題が解けますか？

　問）
　　（販売個数や売上高などが）2000年に
　　対して2001年は10％成長し、2001年に
　　対して2002年は20％成長したとする。
　　このとき、2000年に対して2002年は
　　何％成長したことになるか。

これは大学生の半分以上が間違える問題
だと言います。

みんな間違えるから、できなくてもいい
レベルの問題ではありません。

ちなみに正解は、1.1×1.2＝1.32
つまり1.0→1.32へ0.32増えているので、
「32％」の成長です。

誤答の最も多いパターンは、10％と20％
を足して、30％とする解答のようです。

「割合（％）」の根本的な意味を
理解していないと、そのように考えて
しまうのでしょう。

昨日、『世にも美しき数学者たちの日常』
を紹介する記事を書きましたが、
そこに登場する数学者・数学好きの方
とは天と地の違いです。

　　「本書のタイトルが示すように、
　　本書では、現在、日本で “『％』が
　　分からない大学生” が増えている
　　現象に着目し、日本の数学教育が
　　抱える根本的な問題を指摘したうえ、
　　その解決に向けて思い切った提言を
　　するものである。」

この問題に切り込むのは、桜美林大学
リベラルアーツ学群教授の芳沢光雄さん。

かつて出版された『分数ができない大学生』
の執筆者の1人でもある方です。

芳沢さんが、まず注目したのは、
「は・じ・き」と「く・も・わ」の
蔓延でした。

これは、「速さ×時間＝距離」と
「元にする量×割合＝比べられる量」
の頭文字を取り視覚化した計算方法。

当てはめると答えが簡単に出る道具を
使うことが、根本的に理解することを
阻害しています。

　　「私はここで声を大にして訴えたい。
　　数学は一歩ずつプロセスを大切にする
　　教科であり、答えを当てる教科ではない。
　　そのような教科だからこそ、数学を
　　通しての結論は世の中の人々に
　　信頼されている。」

では、なぜ数学のプロセスが軽んじられ、
答えを当てにいく風潮になったのか？

芳沢さんは、その原因の1つに、
大学入試でマークシート式問題が
採用されたことを挙げています。

一部のマークシート式の数学問題では、
プロセスを無視して、答えを当てに行く
ことが可能になっているのです。

これらの問題の根底にあるのは、
日本の教育制度そのものです。

　　「数学は暗記科目とは違い、一歩ずつ
　　理解して積み上げなくてはならない
　　教科である。しかし、学年別指導を
　　基本とする現在の日本の教育では、
　　理解の遅い生徒は “やり方” を優先する
　　暗記だけの誤魔化した教育に慣れて
　　しまう。このシステムを、一歩ずつ
　　理解させる教育に移行させなければ
　　問題の本質が改善されることはない
　　だろう。」

数学は本来、皆が大切にしたい教科。

日本では「数学嫌い」の割合が、
他国に比べて高いことも、大きな問題。

中学生の「数学嫌い」の割合は、
国際平均が38％に対して、日本では、
59％にもなっているようです。

「数学嫌い」になってしまう前に、
手を打つ必要があります。

この本から何を活かすか？

本書では、「見直し力をチェックする」
問題が11問掲載されていました。

その中から1問だけ紹介します。

　問）
　　あるコーヒー店では、コーヒー1杯の
　　料金は税込で500円である。ただし深夜は、
　　深夜料金として昼の1割増しに設定
　　されている。ところがある日、この店は
　　開業10周年記念として、1割引きの
　　キャンペーンを行っていた。その日の
　　深夜にコーヒー1杯を飲んで帰る
　　お客さんは、1割増しの料金から1割引く
　　ことになるので、結局500円を払えば
　　よいことになるのだろうか。

これも割合の考え方が分かっていれば、
何てことのない問題ですね。

お客さんが払うべき正しい金額は、
500×1.1×0.9＝495（円）となります。

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2019年05月28日

世にも美しき数学者たちの日常

世にも美しき数学者たちの日常

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二宮敦人 幻冬舎 2019年04月

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満足度★★★
付箋数:22

あなたは、数学が好きですか？

きっと、「嫌い」とか「苦手」と
答える人が多いのではないでしょうか。

世間一般では、やけに嫌われている数学。

そんな数学を飯のタネして研究を続ける、
数学者とはどんな人たちなのか？

彼らの頭の中は、どうなっているのか？

そして、どんな日常を過ごしているのか？

私が数学者と聞いてイメージするのは、
映画『ビューティフル・マインド』の
主人公、ジョン・ナッシュさんです。

果たして、他の数学者もナッシュさんの
ような日常を送っているのでしょうか。

本書は、そんな素朴な疑問に答えるべく、
7人の数学者と4人の数学マニアに突撃し、
インタビューした本です。

インタビュアーは、作家の二宮敦人さん。

「最後の医者」シリーズが大人気の
小説家の方で、ノンフィクション作品の
『最後の秘境 東京藝大:天才たちの
カオスな日常』もベストセラーになって
いる方です。

取材したのは、以下の方々です。

　黒川信重先生（東京工業大学名誉教授）
　加藤文元先生（東京工業大学教授）
　千葉逸人先生（東北大学教授）
　津田一郎先生（中部大学教授）
　渕野昌先生（神戸大学教授）
　阿原一志先生（明治大学教授）
　高瀬正仁先生（数学者・数学史家）
　堀口智之先生（数学教室講師）
　タカタ先生（お笑い芸人）
　松中宏樹先生（数学教室講師）
　ゼータ兄弟（中学生）

では、この中から黒川信重先生について、
少し紹介しましょう。

まずは黒川先生の研究室の様子です。

　　「散らかっているのは紙だけ。
　　だがその紙があまりにも多いのである。
　　床を埋め尽くしている、どころではない。
　　部屋中を埋め尽くしている。
　　A4サイズのコピー用紙が、床といい
　　棚といい、およそ載せられる場所
　　すべてに積み上げられ、いくつかは
　　土砂崩れを起こしている。」

この紙の山こそが、研究の成果なのです。

実際に数学の研究に必要なのは、
鉛筆と紙だけ。

それだけあれば、あとは自分の頭を
使って、どこでも研究できます。

黒川先生は、栃木から東工大まで
片道2時間半かけて通う電車の中が、
ほとんど自分の研究室だったようです。

　　「紙に数式なんかをこう、書いていって
　　・・・50枚くらいたまると、論文が1つ
　　できるわけです。もうかれこれ40年
　　くらいですか、そういう生活を続けて
　　います。宇都宮線、進行方向寄りの
　　奥のボックス席、窓側、そこが僕の
　　指定席なんです」

宇都宮線を使う一部の方の間では、
黒川先生は有名な存在になっている
のかもしれません。

そんな黒川先生の日常生活は、
一体、どのようなものなのか？

本書では、奥様からの証言を掲載して
います。

　　「書類や本が、大量にあるわけです。
　　それで三部屋潰しているくらいなんです
　　けれど。散らかっているものを眺めて
　　いるとね、ちょっと・・・・
　　いろんなジャンルのものがあるんですよ。
　　（中略）食べ物、飲み物なんかも
　　そこに散らかしている。
　　で、本人は適当な本を枕にしながら
　　寝ているという。
　　それを見るとね、もしかしたら天才
　　なのかって思います。やっぱり常人
　　じゃない」

すべての数学者が黒川先生のようでは
ないと思いますが、まさに絵に書いた
ような数学者ですね。

そんな生活の中から、美しい数学の
理論が導き出されるのは感動です。

本書は、数学に興味がなくても
読み物として、面白い本だと思います。

この本から何を活かすか？

私は本書で、お笑い芸人のタカタ先生を
初めて知りました。

タカタ先生は高校生の時に、将来は、
お笑い芸人か数学の先生のどちらかに、
なりたかったそうです。

行き着いた先は、その融合。

現在、吉本のお笑い芸人でありながら、
高校の数学教師をしています。

そんなタカタ先生が出演していた、
数学のショートプレゼン交流会が、
「ロマンティック数学ナイト」です。

興味がある方は、是非、ご覧ください。

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