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2019年05月29日

「%」が分からない大学生 日本の数学教育の致命的欠陥

「%」が分からない大学生 日本の数学教育の致命的欠陥 (光文社新書)

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芳沢光雄 光文社 2019年04月17日

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満足度★★★
付箋数:23

あなたは、次の問題が解けますか？

　問）
　　（販売個数や売上高などが）2000年に
　　対して2001年は10％成長し、2001年に
　　対して2002年は20％成長したとする。
　　このとき、2000年に対して2002年は
　　何％成長したことになるか。

これは大学生の半分以上が間違える問題
だと言います。

みんな間違えるから、できなくてもいい
レベルの問題ではありません。

ちなみに正解は、1.1×1.2＝1.32
つまり1.0→1.32へ0.32増えているので、
「32％」の成長です。

誤答の最も多いパターンは、10％と20％
を足して、30％とする解答のようです。

「割合（％）」の根本的な意味を
理解していないと、そのように考えて
しまうのでしょう。

昨日、『世にも美しき数学者たちの日常』
を紹介する記事を書きましたが、
そこに登場する数学者・数学好きの方
とは天と地の違いです。

　　「本書のタイトルが示すように、
　　本書では、現在、日本で “『％』が
　　分からない大学生” が増えている
　　現象に着目し、日本の数学教育が
　　抱える根本的な問題を指摘したうえ、
　　その解決に向けて思い切った提言を
　　するものである。」

この問題に切り込むのは、桜美林大学
リベラルアーツ学群教授の芳沢光雄さん。

かつて出版された『分数ができない大学生』
の執筆者の1人でもある方です。

芳沢さんが、まず注目したのは、
「は・じ・き」と「く・も・わ」の
蔓延でした。

これは、「速さ×時間＝距離」と
「元にする量×割合＝比べられる量」
の頭文字を取り視覚化した計算方法。

当てはめると答えが簡単に出る道具を
使うことが、根本的に理解することを
阻害しています。

　　「私はここで声を大にして訴えたい。
　　数学は一歩ずつプロセスを大切にする
　　教科であり、答えを当てる教科ではない。
　　そのような教科だからこそ、数学を
　　通しての結論は世の中の人々に
　　信頼されている。」

では、なぜ数学のプロセスが軽んじられ、
答えを当てにいく風潮になったのか？

芳沢さんは、その原因の1つに、
大学入試でマークシート式問題が
採用されたことを挙げています。

一部のマークシート式の数学問題では、
プロセスを無視して、答えを当てに行く
ことが可能になっているのです。

これらの問題の根底にあるのは、
日本の教育制度そのものです。

　　「数学は暗記科目とは違い、一歩ずつ
　　理解して積み上げなくてはならない
　　教科である。しかし、学年別指導を
　　基本とする現在の日本の教育では、
　　理解の遅い生徒は “やり方” を優先する
　　暗記だけの誤魔化した教育に慣れて
　　しまう。このシステムを、一歩ずつ
　　理解させる教育に移行させなければ
　　問題の本質が改善されることはない
　　だろう。」

数学は本来、皆が大切にしたい教科。

日本では「数学嫌い」の割合が、
他国に比べて高いことも、大きな問題。

中学生の「数学嫌い」の割合は、
国際平均が38％に対して、日本では、
59％にもなっているようです。

「数学嫌い」になってしまう前に、
手を打つ必要があります。

この本から何を活かすか？

本書では、「見直し力をチェックする」
問題が11問掲載されていました。

その中から1問だけ紹介します。

　問）
　　あるコーヒー店では、コーヒー1杯の
　　料金は税込で500円である。ただし深夜は、
　　深夜料金として昼の1割増しに設定
　　されている。ところがある日、この店は
　　開業10周年記念として、1割引きの
　　キャンペーンを行っていた。その日の
　　深夜にコーヒー1杯を飲んで帰る
　　お客さんは、1割増しの料金から1割引く
　　ことになるので、結局500円を払えば
　　よいことになるのだろうか。

これも割合の考え方が分かっていれば、
何てことのない問題ですね。

お客さんが払うべき正しい金額は、
500×1.1×0.9＝495（円）となります。

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2019年05月28日

世にも美しき数学者たちの日常

世にも美しき数学者たちの日常

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二宮敦人 幻冬舎 2019年04月

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満足度★★★
付箋数:22

あなたは、数学が好きですか？

きっと、「嫌い」とか「苦手」と
答える人が多いのではないでしょうか。

世間一般では、やけに嫌われている数学。

そんな数学を飯のタネして研究を続ける、
数学者とはどんな人たちなのか？

彼らの頭の中は、どうなっているのか？

そして、どんな日常を過ごしているのか？

私が数学者と聞いてイメージするのは、
映画『ビューティフル・マインド』の
主人公、ジョン・ナッシュさんです。

果たして、他の数学者もナッシュさんの
ような日常を送っているのでしょうか。

本書は、そんな素朴な疑問に答えるべく、
7人の数学者と4人の数学マニアに突撃し、
インタビューした本です。

インタビュアーは、作家の二宮敦人さん。

「最後の医者」シリーズが大人気の
小説家の方で、ノンフィクション作品の
『最後の秘境 東京藝大:天才たちの
カオスな日常』もベストセラーになって
いる方です。

取材したのは、以下の方々です。

　黒川信重先生（東京工業大学名誉教授）
　加藤文元先生（東京工業大学教授）
　千葉逸人先生（東北大学教授）
　津田一郎先生（中部大学教授）
　渕野昌先生（神戸大学教授）
　阿原一志先生（明治大学教授）
　高瀬正仁先生（数学者・数学史家）
　堀口智之先生（数学教室講師）
　タカタ先生（お笑い芸人）
　松中宏樹先生（数学教室講師）
　ゼータ兄弟（中学生）

では、この中から黒川信重先生について、
少し紹介しましょう。

まずは黒川先生の研究室の様子です。

　　「散らかっているのは紙だけ。
　　だがその紙があまりにも多いのである。
　　床を埋め尽くしている、どころではない。
　　部屋中を埋め尽くしている。
　　A4サイズのコピー用紙が、床といい
　　棚といい、およそ載せられる場所
　　すべてに積み上げられ、いくつかは
　　土砂崩れを起こしている。」

この紙の山こそが、研究の成果なのです。

実際に数学の研究に必要なのは、
鉛筆と紙だけ。

それだけあれば、あとは自分の頭を
使って、どこでも研究できます。

黒川先生は、栃木から東工大まで
片道2時間半かけて通う電車の中が、
ほとんど自分の研究室だったようです。

　　「紙に数式なんかをこう、書いていって
　　・・・50枚くらいたまると、論文が1つ
　　できるわけです。もうかれこれ40年
　　くらいですか、そういう生活を続けて
　　います。宇都宮線、進行方向寄りの
　　奥のボックス席、窓側、そこが僕の
　　指定席なんです」

宇都宮線を使う一部の方の間では、
黒川先生は有名な存在になっている
のかもしれません。

そんな黒川先生の日常生活は、
一体、どのようなものなのか？

本書では、奥様からの証言を掲載して
います。

　　「書類や本が、大量にあるわけです。
　　それで三部屋潰しているくらいなんです
　　けれど。散らかっているものを眺めて
　　いるとね、ちょっと・・・・
　　いろんなジャンルのものがあるんですよ。
　　（中略）食べ物、飲み物なんかも
　　そこに散らかしている。
　　で、本人は適当な本を枕にしながら
　　寝ているという。
　　それを見るとね、もしかしたら天才
　　なのかって思います。やっぱり常人
　　じゃない」

すべての数学者が黒川先生のようでは
ないと思いますが、まさに絵に書いた
ような数学者ですね。

そんな生活の中から、美しい数学の
理論が導き出されるのは感動です。

本書は、数学に興味がなくても
読み物として、面白い本だと思います。

この本から何を活かすか？

私は本書で、お笑い芸人のタカタ先生を
初めて知りました。

タカタ先生は高校生の時に、将来は、
お笑い芸人か数学の先生のどちらかに、
なりたかったそうです。

行き着いた先は、その融合。

現在、吉本のお笑い芸人でありながら、
高校の数学教師をしています。

そんなタカタ先生が出演していた、
数学のショートプレゼン交流会が、
「ロマンティック数学ナイト」です。

興味がある方は、是非、ご覧ください。

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2019年03月08日

数学の真理をつかんだ25人の天才たち

数学の真理をつかんだ25人の天才たち

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イアン・スチュアート/水谷 淳 ダイヤモンド社 2019年01月18日

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満足度★★★★
付箋数:25

あなたの、好きな数学者はだれですか？

日常会話の中で、こんな質問をされることは、
まずありませんが、こう聞かれて答えが
すぐに出てくる人は、本書を読んだ方が
いいと思います。

間違いなく、楽しめます。

好きな数学者なんて、考えたこともない。

そんな方でも、数学にちょっとでも知的な
魅力を感じていれば、結構面白い本だと
思えるはずです。

数学は昔から苦手で・・・

数学アレルギーの方が、本書を
手にする可能性は低いと思います。

しかし、そんな方が本書を読んでも、
「数学者って、イメージと違うな」
という驚きと、発見があるでしょう。

　　「本書では、新しい数学を誕生させる
　　神秘めいたプロセスを探っていく。
　　数学は何もないところから生まれてくる
　　わけではない。人が作り出すのだ。
　　そのなかには、驚くほどの独創性や
　　明晰さを備えていた人物が何人かいる。
　　大きなブレイクスルーと結びつけられて
　　いる人々、いわゆる先駆者、開拓者、
　　偉人たちだ。」

本書は、古今東西、新しい数学の世界を
切り拓いた、25人の偉大な数学者の物語。

著者は、英国第一の数学者であり、
ポピュラーサイエンス書の著者としても
世界的に有名なイアン・スチュアートさん。

当ブログでも、ずい分前になりますが、
『数学を変えた14の偉大な問題』を
紹介したことがあります。

　　「本書は数学全体の体系的な歴史書では
　　ないが、数学のさまざまな話題を
　　一貫した形で紹介し、読み進めるに
　　つれていろいろな概念が体系的に
　　積み上がっていくようにしたつもりだ。」

数学の全体像を知りたいかどうかは、
別にして、本書で紹介される数学者は
いずれも魅力的な物語を持っています。

1人あたり、15ページ前後で、
その偉大な業績にいたる過程だけでなく、
人間的なエピソードも紹介しています。

数学者たちの、意外な横顔や人物的な
魅力が存分に伝えられています。

世間的に広く知られている数学者は、
以下の方々です。（敬称略）

　アルキメデス：私の描いた円を乱すな
　ピエール・ド・フェルマー：最終定理
　アイザック・ニュートン：世界の体系
　レオンハルト・オイラー：我々すべての師
　カール・フリードリヒ・ガウス：見えない足場
　エヴァリスト・ガロア：根と革命化
　ベルンハルト・リーマン：素数の音楽家
　アンリ・ポアンカレ：怒濤のように浮かぶ
　　　　　　　　　　　アイデア
　クルト・ゲーデル：不完全で決定不可能
　アラン・チューリング：この機械は停止する

　　「彼ら偉人たちは、新たな数学の展望を
　　開く先駆的な発見を成し遂げた。
　　そこから私たちは何を学べただろうか？
　　まず、最初に読み取れるのは、多様性
　　である。数学を切り開いた人たちは、
　　あらゆる時代、あらゆる文化、あらゆる
　　階級におよんでいる。本書で選んだ物語は
　　2500年の期間にもわたっている。」

数学者というと男性というイメージ
でしたが、エミー・ネーターさん他
数名の女性数学者も紹介されていて、
多様性を一層感じました。

個人的には、最初から最後まで堪能できた
本ですが、欲を言えば、日本人数学者が
1人ぐらいは入っていて欲しかった。

存命の数学者は選考外という基準なので、
関孝和さんや岡潔さんを選んでくれて
いれば、もっと良かったと思います。

この本から何を活かすか？

私が魅力を感じたのは、フランスの数学者、
エヴァリスト・ガロアさん。

10代の頃に、群を用いて記述する理論、
「ガロア理論」を研究していましたが、
22歳の若さで亡くなっています。

しかも、一人の女性をめぐる
決闘というかたちで。

もう少し長く生きていれば、さらなる
業績が期待できただけに、残念です。

ちなみに、ガロアさんが決闘の前日に
友人宛に送った手紙は、のちの数学にも
多大な影響を与えました。

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2018年12月26日

はじめての解析学 微分、積分から量子力学まで

はじめての解析学 微分、積分から量子力学まで (ブルーバックス)

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原岡 喜重 講談社 2018-11-14

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満足度★★★★
付箋数:25

古来より、私たち人類は「自然」の中で
生きてきました。

しかし、その自然がどのように動くかわからず、
身を危険に晒してきました。

　　「自然の本質は変化です。
　　人類は自然がどのように振る舞うのか、
　　つまり自然がどううごくのかを知りたいと
　　願ってきました。自然の動きがわかれば
　　その脅威から身を守ることができるかも
　　しれないし、その恩恵をより多く手に
　　入れることができるかもしれません。」

自然は「変化」するから、捉えるのが難しい。

それでは、人類はどのようにして、
「変化」に対処しようとしてきたのか？

その変化を記述する方法の1つが「関数」です。

この関数を扱うのが、数学の中では、
「解析学」という分野。

数学の分野は、ざっくり分けると、代数学、
幾何学、解析学の3つに大別されます。

代数は数や式を扱う学問、幾何学は図形を
扱う学問で、解析学が関数を扱う学問です。

つまり、人類は解析学によって、
自然の変化を捉えようとしてきました。

本書は、歴史の流れに沿って解析学の発展を
見ていく本です。

解析学の全体像が俯瞰できるように
書かれています。

著者は、熊本大学大学院先端科学研究部
教授の原岡喜重さん。

複素領域における微分方程式・特殊関数・
微分代数学を専門とする方です。

解析学の概念が、最初に考えられたのは、
古代ギリシャの時代です。

それが17世紀になってニュートンさんと
ライプニッツさんによって微分法が発見され、
一気に研究が進みます。

更に、フーリエさんの熱伝導の研究もあり、
フーリエ解析で周期関数を記述することが
可能になり、波動の研究に応用されました。

19世紀になると、「奇跡の世紀」と呼ばれる
ほどの大発見が続きます。

解析学に関わるものだけでも、楕円積分、
アーベル積分、アーベル函数に至る研究、
複素函数論、リーマン面の理論などがあります。

ルベーグさんは、積分の概念の一般化する
ルベーグ積分を発表しました。

そして、コーシーさんは、複素解析の研究で、
コーシーの平均値の定理、コーシーの積分定理、
コーシー・リーマンの関係式などを展開します。

20世紀になると、数学は更に深化と抽象化が
進み、また計算機の発達で、計算実験も
どんどん行えるようになりました。

そこで登場するのが、20世紀の科学における
最大の発見と呼ばれる量子力学です。

量子力学は、それまでの古典物理学で
とらえた世界像を一変するような衝撃を与え、
多くの現象を緻密に記述することを
可能にしました。

この分野では、シュレーディンガーさんが
シュレーディンガー方程式を発表します。

シュレーディンガー方程式は、
波動関数とみたすことで間接的に
確率密度関数をみたす微分方程式です。

本書では、20世紀の解析学までを、
その時代その時代に新しい局面を切り開いた
人物を紹介しながら解説しています。

解析学自体はかなり大きな研究分野ですが、
その発展が、つながりとして見えてきます。

非常に興味深い本で、解析学の概要を
知るためには適しています。

しかし、それなりに数式での説明も
出てきますので、文系の方には、
難しく感じる可能性があります。

少なくとも高校レベルの数学の
知識がないと、解析学の醍醐味は
伝わってこないかもしれません。

この本から何を活かすか？

本書の巻末では、解析学を学び始める方向けに、
大学生向けの微分積分の教科書が紹介されて
いました。

　　1.微分積分学 第1巻、第2巻
　　2.解析概論 改訂第3版
　　3.微分方程式 増補版
　　4.関数論
　　5.複素函数論 (東京大学基礎工学)

古い本も多くて、入手が難しいものもあります。
この中で、「3」が原岡さん自身の著書です。

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2018年02月19日

統計学図鑑

統計学図鑑

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栗原 伸一,丸山 敦史 オーム社 2017-09-15

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付箋数:25

　　「今の世の中、私たちの身の回りで “統計学” 
　　が重要になってきています。名前は聞くけれど、
　　一体何をどうすればわからない。
　　授業で習った気もするけれど、実際にどんな
　　手法を選べばいいのかわからない。
　　そう思っていないでしょうか？
　　この『統計学図鑑』は、そんな私たちが
　　イラストと丁寧な解説で “統計学” の基礎から
　　応用まで、しっかり学ぶことができます。
　　きっと難しい事はありません、統計学の世界へ
　　出かけてみましょう。」

本書は、「図鑑」というだけあって、
かなり広範囲の統計学の内容がカバーされた
本です。

イラストが多用されているので、内容について
イメージがしやすい本だと思います。

著者は、『入門 統計学 ?検定から多変量解析
・実験計画法まで?』が好評だった、
千葉大学大学院嚥下医学研究科教授の
栗原 伸一さん。

同じ研究科の同僚で准教授の丸山敦史さん
との共著です。

では、本書から「実験計画法」の説明を
見てみましょう。

　　「実験計画法とは、成功する実験を計画する
　　ためのルール集です。
　　そのルールは、R・フィッシャーによって
　　3つの原則（反復、無作為化、局所管理）
　　に整理されます。
　　また、実験計画法には、部分的な実験で
　　すませたり、分析に最低限必要なデータ数
　　を決める方法など、効率的な実験を計画する
　　方法も含まれています。」

実験には、失敗と成功があります。

実験の失敗とは、実験後の分散分析において、
効果がないのにあると誤ったり、
効果があるのにないと見落としたりすること。

実験の成功とは、それとは逆に、要因効果が
あるときに、それをきちんと検出できる
ことをいいます。

フィッシャーさんの3原則に従えば、
実験の失敗を防ぐことができるのです。

反復の原則とは、分散分析に必要な
誤差分散を評価するため、同じ水準
（群、処理）内での実験を繰り返すこと。

無作為化の原則とは、本来は誤差とする
要因が、系統だって（方向性を持って）
実験計画に入り込まないよう、実験空間の
配置や時間の順番を無作為に並び替える
ことです。

局所管理の原則とは、空間的・時間的な
実験の場を小分け（ブロック化）にして、
その中で実験を一通り実施し、分析する
ことです。

このように文字の羅列だけで説明すると、
いたって平凡に感じてしまいますが、
それを豊富なイラストや図表で補足して
いるのが本書の最大の特徴です。

レベル的には「授業で習った気もするけれど」
といった人に丁度いい感じです。

つまり、統計を授業で習っているので、
理系出身の方ということができます。

数学で使うΣなどの記号や式は、
当たり前のように登場します。

いくら平易に説明しているといっても、
これまでの人生で数学を避けてきた方
には、正直、キツイと思います。

多少、統計をかじっている方が、
自分の知らない分析や検定方法を
ざっくり掴むのにも適していると思います。

個人的には、丁度よいレベルの本でした。

この本から何を活かすか？

　　「統計学を学んだ人たちに “もっとも偉大な
　　統計学者をひとりあげよ” と聞いたら、
　　誰もがフィッシャーを選ぶのではないで
　　しょうか？ フィッシャーは分散分析だけで
　　なく、仮説検定やp値、自由度という、
　　現代の推測統計学にはなくてはならない
　　手法や概念、そして母数推定法の1つである
　　最尤法（さいゆうほう）を考え出しました。」

これは、本書のコラムとして掲載されている
ロナルド・フィッシャーさんの「偉人伝」
からの抜粋です。

全部で8組9人の偉人伝が掲載されていて、
これで統計学の歴史の大枠もわかるので、
なかなかいいコラムになっています。

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